【题目】已知抛物线
的焦点为
,过抛物线
上的动点
(除顶点
外)作
的切线
交
轴于点
.过点
作直线
的垂线
(垂足为
)与直线
交于点
.
(Ⅰ)求焦点的坐标;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求线段的长.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由抛物线方程,可得
,从而得焦点
的坐标;(Ⅱ)设
,利用导数的几何意义可得过点
的切线
的斜率为
,从而得
,根据过两点的斜率公式可得
,从而可得结论;(Ⅲ)由(Ⅱ)可设直线
的方程为
,
.直线
的方程为
.设
和
交点
的坐标为
,联立直线方程可得
,
,代入圆的方程结果.
试题解析:(Ⅰ)由抛物线方程,可得
,可得
(Ⅱ)设.由
,得
,则过点
的切线
的斜率为
.
则过点的切线
方程为
.令
,得
,即
.又点
为抛物线上除顶点
外的动点,
,则
.而由已知得
,则
.又
,即
与
不重合,即
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)问,直线的方程为
,
.直线
的方程为
.设
和
交点
的坐标为
则
由(1)式得,(由于
不与原点重合,故
).代入(2),化简得
.又
,化简得,
(
).
即点在以
为圆心,1为半径的圆上.(原点与
除外)
即.
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【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与
轴交于
,抛物线的焦点为
,以
为焦点,离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
;自
引直线交抛物线于
两个不同的点,设
.
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求
的取值范围.
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【题目】衡阳市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
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【题目】数列:
满足:
,
或1(
).对任意
,都存在
,使得
.,其中
且两两不相等.
(I)若.写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)记.若
,证明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知点
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
,过点
作极坐标方程为
的直线的平行线
,分别交曲线
于
两点.
(1)写出曲线和直线
的直角坐标方程;
(2)若成等比数列,求
的值.
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【题目】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.
(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率;
(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;
(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用表示乙车间的零件个数,求
的分布列与数学期望.
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【题目】已知椭圆E: (a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆E上.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
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