【题目】已知点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆
的右顶点,点
是椭圆
上不同的两点(均异于
)且满足直线
与
斜率之积为
.试判断直线
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)由点在椭圆
上,且椭圆的离心率为
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(2)由题意,直线
的斜率存在,可设直线
的方程为
,
,
,联立
,得
,根据韦达定理、斜率公式及直线
与
斜率之积为
,可得
,解得
或
,将以上结论代入直线方程即可得结果.
试题解析:(1)可知离心率,故有
,
又有点在椭圆
上,代入得
,
解得,
,
故椭圆的方程为
.
(2)由题意,直线的斜率存在,可设直线
的方程为
,
,
,
联立得
.
∴,
.
∵直线与
斜率之积为
.
而点,∴
.
∴.
化简得,
∴,
化简得,解得
或
,
当时,直线
的方程为直线
与
斜率之积为
,过定点
.
代入判别式大于零中,解得
.
当时,直线
的方程为
,过定点
,不符合题意.
故直线过定点
.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
与椭圆
交于点
,
(
在
轴上方),且
.设点
在
轴上的射影为
,三角形
的面积为2(如图1).
(1)求椭圆的方程;
(2)设平行于的直线与椭圆相交,其弦的中点为
.
①求证:直线的斜率为定值;
②设直线与椭圆相交于两点
,
(
在
轴上方),点
为椭圆上异于
,
,
,
一点,直线
交
于点
,
交
于点
,如图2,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的一个焦点坐标为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点,过点
的直线
(与
轴不重合)与椭圆
交于
两点,直线
与直线
相交于点
,试证明:直线
与
轴平行.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与
轴交于
,抛物线的焦点为
,以
为焦点,离心率
的椭圆与抛物线的一个交点为
;自
引直线交抛物线于
两个不同的点,设
.
(Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求
的取值范围.
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【题目】已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程是
(
为参数).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,且
,求直线
的倾斜角
的值.
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【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
测试1 | 测试2 | 测试3 | 测试4 | 测试5 | 测试6 | 测试7 | 测试8 | 测试9 | 测试10 | 测试11 | 测试12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记
(Ⅰ)求数据的众数;
(Ⅱ)从满足的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
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【题目】衡阳市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,则应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知点
,以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
,过点
作极坐标方程为
的直线的平行线
,分别交曲线
于
两点.
(1)写出曲线和直线
的直角坐标方程;
(2)若成等比数列,求
的值.
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