Question

【题目】如图，已知三棱锥中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M为线段AB的中点.

（Ⅰ）求证：平面ACD；

（Ⅱ）求异面直线MD与BC所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线MD与平面ACD所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意结合几何关系可得，结合，和线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

（Ⅱ）取AC中点N，连接MN，DN，易知（或其补角）为异面直线MD与BC所成的角，据此结合几何性质可得异面直线MD与BC所成角的余弦值.

（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知为直线MD与平面ACD所成的角，据此可得线面角的余弦值.

（Ⅰ）∵平面平面ABC于AB，，平面ABD，

∴平面ABC，

∴，又，，

∴平面ACD.

（Ⅱ）取AC中点N，连接MN，DN，

∵M是AB中点，

∴，

∴（或其补角）为异面直线MD与BC所成的角，

由（Ⅰ）知平面ACD，

∴平面ACD，，

在中，，，

∴，

即异面直线MD与BC所成角的余弦值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）为直线MD与平面ACD所成的角，在中，，

∴.