Question

18．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 设圆锥的底面半径是r，母线长为l，根据条件和侧面积公式求出l=2r，判断外接球的球心位置，由球的表面积公式求出外接球的半径，再求出r和圆锥的高，代入椎体的体积公式求出该圆锥的体积．

解答 解：设圆锥的底面半径是r，母线长为l，
∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，
∴πrl=2πr²，解得l=2r，则圆锥的轴截面是正三角形，
∵圆锥的外接球的表面积为16π，则外接球的半径R=2，
且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是$\sqrt{3}$r，
∴$\frac{2}{3}×\sqrt{3}r$=2，解得r=$\sqrt{3}$，则圆锥的高为3，
∴该圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π×（\sqrt{3}）^{2}×3$=3π，
故选：C．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，以及圆锥外接球的球心转化为轴截面外接圆的圆心，属于基础题．