Question

17．有下列说法：
①在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$＜0，则△ABC是钝角三角形；
②在△ABC中$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，则△ABC是直角三角形；
③在△ABC中，若tan $\frac{A+B}{2}$=sin C，则sin²A+sin²B=1；
④在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若$\frac{BE}{CF}$＜t恒成立，则t的最小值为$\frac{7}{8}$．
其中正确说法的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①根据向量数量积的公式进行判断即可．
②根据向量加法法则以及平方法进行判断即可，
③根据两角和差的三角公式进行化简即可，
④根据三角形的正弦定理和余弦定理进行化简求解即可．

解答 解：①在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$＜0，则|BC||CA|cos（π-C）＜0，
即-cosC＜0，则cosC＞0，则C是锐角，则△ABC是不一定是钝角三角形；故①错误，
②在△ABC中$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{a}$=-（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，
则|-（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|，
平方得$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{c}$²+2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{c}$²-2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，即$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，则AB⊥CA，则△ABC是直角三角形；故②正确，
③在△ABC中，若tan $\frac{A+B}{2}$=sin C，
则tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}{cos（\frac{π}{2}-\frac{C}{2}）}$=$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
则cos$\frac{C}{2}$=2sin²$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
即cos$\frac{C}{2}$（1-2sin²$\frac{C}{2}$）=cos$\frac{C}{2}$cosC=0，
则cosC=0，则C=$\frac{π}{2}$，
则B=$\frac{π}{2}$-A，
则sin²A+sin²B=sin²A+sin²（$\frac{π}{2}$-A）=sin²A+cos²A=1；故③正确，
④根据题意画出图形，如图所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=$\frac{3}{2}$AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（$\frac{3}{4}$AB）²-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（$\frac{1}{2}$AB）²+（$\frac{3}{2}$AB）²-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
∴$\frac{{BE}^{2}}{{CF}^{2}}$=$\frac{\frac{25}{16}{AB}^{2}-\frac{3}{2}{AB}^{2}cosA}{\frac{5}{2}{AB}^{2}-\frac{3}{2}{AB}^{2}cosA\;\;}$=$\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}cosA}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}cosA}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵当cosA取最小值时，$\frac{BE}{CF}$比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时$\frac{BE}{CF}$达到最大值，最大值为$\sqrt{1-\frac{15}{40+24}}$=$\frac{7}{8}$，
则$\frac{BE}{CF}＜t$恒成立，t的最小值为$\frac{7}{8}$．故④正确，
故正确的是②③④，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．