Question

8．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}$（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=8cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C₁与曲线C₂的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．

解答 解：（1）对于曲线C₂有$ρ=8cos（θ-\frac{π}{3}）$，即${ρ^2}=4ρcosθ+4\sqrt{3}ρsinθ$，
因此曲线C₂的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}=4x+4\sqrt{3}y$，其表示一个圆．（5分）
（2）联立曲线C₁与曲线C₂的方程可得：${t^2}-2\sqrt{3}sinα•t-13=0$，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{3}$sinα，t₁t₂=-13
$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{3}sinα）}^2}-4（-13）}=\sqrt{12{{sin}^2}α+52}$，
因此sinα=0，|AB|的最小值为$2\sqrt{13}$，sinα=±1，最大值为8．（10分）

点评 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．