Question

3．已知函数$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+sinx$，则关于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（　　）

• A． $（\sqrt{3}\;，\;\;2）$
• B． （-3，2）
• C． （1，2）
• D． $（\sqrt{3}\;，\;\;\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0化为1＞a-2＞4-a²＞-1，解不等式组可得答案．

解答 解：函数的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=$ln\frac{1-x}{1+x}$-sinx=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
又∵f′（x）=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$+cosx＞0，
∴函数$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+sinx$在区间（-1，1）上为增函数，
则不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0可化为：f（a-2）＜-f（a²-4）
即f（a-2）＜f（4-a²），
即-1＜a-2＜4-a²＜1
解得$\sqrt{3}$＜a＜2
故关于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（$\sqrt{3}$，2）．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，属于中档题．