Question

13．设cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα=$\frac{12}{13}$，且β是第四象限角，则tan$\frac{β}{2}$=（　　）

• A． ±$\frac{2}{3}$
• B． ±$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用两角差的正弦函数公式可求得sinβ，进而可得tan$\frac{β}{2}$，根据α是第4象限角，可得$\frac{β}{2}$的范围，利用正切函数的图象和性质即可求得答案．

解答 解：∵cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα=$\frac{12}{13}$，
∴sin[α-（α+β）]=-sinβ=$\frac{12}{13}$，可得：sinβ=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=2sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{ta{n}^{2}\frac{β}{2}+1}$=-$\frac{12}{13}$，
∴解得：tan$\frac{β}{2}$=-$\frac{3}{2}$，或-$\frac{2}{3}$．
∵β是第四象限角，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$＜β＜2kπ，k∈Z，则kπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{β}{2}$＜kπ，k∈Z，
∴tan$\frac{β}{2}$=-$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力，属于中档题．