Question

2．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{x}{2}$）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{x}{2}$）-sin（π+x），若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称；
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）三角函数中两角互余的诱导公式及函数对称问题，通过g（x）上的点对称点在f（x）上，求出g（x）的解析式．
（2）根据存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，使等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立，换元转化为二次函数求值，从而求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意得f（x）=$2\sqrt{3}sin（\frac{π}{4}+\frac{x}{2}）cos（\frac{π}{4}+\frac{x}{2}）+sinx$
=$\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}+x）+sinx$
=$\sqrt{3}cosx+sinx$
=2$sin（x+\frac{π}{3}）$
因为g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
设g（x）上任意一点P（x，y）关于y轴对称的点P′（-x，y）在y=f（x）的图象上．
即 g（x）=2sin（-x+$\frac{π}{3}$），故g（x）=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）．
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴由（1）得g（x）$∈[-1，\sqrt{3}]$  
  令t=g（x），t$∈[-1，\sqrt{3}]$
则等式[g（x）]²-g（x）+m=0成立等价为m=-t²+t在t$∈[-1，\sqrt{3}]$上成立．
m=-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，当t=-1时m最小值为-2，当t=$\frac{1}{2}$时m的最大值为$\frac{1}{4}$．
在故m的取值范围为$[-2，\frac{1}{4}]$．

点评 本题主要考查三角函数的诱导公式和性质，利用换元法将函数进行化简是解决本题的关键．