Question

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过A（0，1），B（3，4），C（6，1）三点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

解答 解：（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将已知三点代入，得$\left\{\begin{array}{l}1+E+F=0\\ 9+16+3D+4E+F=0\\ 36+1+6D+E+F=0\end{array}\right.$，
解得：D=-6，E=-2，F=1，
所以圆C的方程为x²+y²-6x-2y+1=0，
即${（x-3）^2}+（y-1）_{\;}^2=9$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组：$\left\{\begin{array}{l}x-y+a=0\\{（x-3）^2}+（y-1）_{\;}^2=9.\end{array}\right.$
消去y，得到方程$2{x^2}+（2a-8）x+a_{\;}^2-2a+1=0$．
由已知可得，判别式$△=56-16a-4a_{\;}^2＞0$．
因此，${x_{1，2}}=\frac{{（8-2a）±\sqrt{56-16a-4a_{\;}^2}}}{4}$，
从而：${x_1}+{x_2}=4-a，{x_1}{x_2}=\frac{{a_{\;}^2-2a+1}}{2}$①，
由于：OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
又：y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以：$2{x_1}{x_2}+a（{x_1}+{x_2}）+a_{\;}^2=0$．②
由①，②，得：a=-1，满足△＞0，
故a=-1．

点评 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．