Question

2．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=$\frac{1}{2}$x在第一象限的交点A的横坐标为2，直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0过椭圆的一个焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知直线l'平行于直线l，且与椭圆C₁交于不同的两点M，N，记直线AM的倾斜角θ₁，直线AN的倾斜角为θ₂，试探究θ₁+θ₂是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知A（2，1）．故$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0过椭圆的一个焦点，可得c，即可求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）θ₁+θ₂=π．理由如下：设直线l′的方程为x-2y+m=0，与$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，可得8y²-4my+m²-8=0，利用韦达定理，由此得到k_AM=-k_AN，即可得出结论．

解答 解：（1）将x=2代入y²=$\frac{1}{2}$x中，解得y=±1．
∵A在第一象限，∴A（2，1）．
故$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1①
∵直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0过椭圆的一个焦点，
∴c=$\sqrt{6}$②，
又a²-b²=c²③，
由①②③可得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线l′的方程为x-2y+m=0，与$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，可得8y²-4my+m²-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{m}{2}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}}{8}$-1，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{2}$-4，
∴k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}-（2+m）（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴tanθ₁+tanθ₂=0，
∴θ₁+θ₂=π．

点评 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．