Question

7．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y-6≤0\\ 2x-y-2≥0\end{array}\right.$，且z=2x+y的最小值为m，最大值为n，则f（x）=x²-14x在区间[m，n]上的最大值和最小值之和为（　　）

• A． -94
• B． -97
• C． -93
• D． -90

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最大值和最小值，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，j即A（3，3），
此时z=2x+y得z=2×3+3=9．即n=9，
当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（2，2），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．
即m=6，
则f（x）=x²-14x=（x-7）²-49，
则函数在区间[m，n]上，即区间[6，9]上，
当x=7时，函数取得最小值-49，
当x=9时，函数取得最大值（9-7）²-49=4-49=-45，
则最大值和最小值为-49-45=-94，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划和一元二次函数单调性的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．