Question

3．已知函数f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．
（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间[1，2]上仅存在一个x₀，使得f（x₀）≥a，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到$\frac{b}{c}$=9，结合b+c=10，求出b，c的值即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，求出a即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{bc-ab{x}^{2}}{（a{x}^{2}+c）^{2}}$，
∴f′（0）=$\frac{b}{c}$=9，而b+c=10，
解得：b=9，c=1，
∴f（x）=$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$，f′（x）=$\frac{9（1-a{x}^{2}）}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$或x＜-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{a}$）递减，在（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）递增，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）递增，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）递减，
①a≥1时，$\frac{\sqrt{a}}{a}$≤1，f（x）在[1，2]递减，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{9}{a+1}$=a，解得：a=$\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$，
②0＜a≤$\frac{1}{4}$时，$\frac{\sqrt{a}}{a}$≥2，f（x）在[1，2]递增，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{18}{4a+1}$=a，无解，
③$\frac{1}{4}$＜a＜1即1＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜2时，f（x）在[1，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）递增，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，2]递减，
f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）=$\frac{9}{2\sqrt{a}}$=a，无解，
综上，a=$\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．