Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用PA⊥PB，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），且离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立椭圆方程得（1+2k²）x²+4mkx+2（m²-2）=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由PA⊥PB，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，代入得4k²+8mkx+3m²=0
∴m=-2k（舍去），m=-$\frac{2}{3}$k，
∴直线AB的方程为y=k（x-$\frac{2}{3}$），所以过定点（$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．