Question

18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，直线CD与直线AB交于点F，E在DF上，AE是⊙O的切线，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE⊥CD；
（2）如果AB=4，AE=2，求∠BFC的大小．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE⊥CD，只要证明OA∥CE即可．
（2）证明△ADE∽△BDA，可得BD=2AD，∠ABD=30°，利用AD⊥AF，即可求∠BFC的大小．

解答 （1）证明：连接OA，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥CE，
∵AE是⊙O切线，
∴CE⊥AE，
∴AE⊥CD．
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
∴$\frac{2}{AD}=\frac{4}{BD}$，
∴BD=2AD，
∴∠ABD=30°，
∴∠DAE=30°，
∵AD⊥AF，
∴∠BFC=30°．

点评 本题考查切线的性质、三角形的相似等知识，解题的关键是熟练掌握切线的性质，学会添加常用辅助线，属于常考题型．