Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2016-x）=1，数列{a_n}中，a_n=f（n）（n∈N^•），则数列{a_n}的前2015项和S₂₀₁₅=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 1008
• D． $\frac{2015}{2}$

Answer 1

分析 根据函数关系，利用倒序相加法进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x）+f（2016-x）=1，数列{a_n}中，a_n=f（n）（n∈N^•），
∴f（n）+f（2016-n）=1，
即a_n+a_2016-n=1，
则数列{a_n}的前2015项和S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅，
则S₂₀₁₅=a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+a₂₀₁₃+…+a₂+a₁，
两式相加得2S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₅+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄+a₂₀₁₃+…+a₂+a₁，
=（a₁+a₂₀₁₅）+（a₂+a₂₀₁₄）+…+（a₂₀₁₅+a₁）=1+1+…+1=2015，
则S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}$，
故选：D

点评 本题主要考查数列求和的计算，根据数列和函数的关系，利用倒序相加法进行求解是解决本题的关键．