Question

19．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一周期内，当x=$\frac{π}{4}$时，y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）；
（2）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象；
（3）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，$\frac{8π}{3}$]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）根据题意，算出f（x）的周期T，结合周期公式解得ω，再结合y取最大值1解出φ，即可得到函数的解析式；
（2）直接利用三角函数图象的变换，求解三角函数即可．
（3）由（1）的结论，得函数在[0，$\frac{8π}{3}$]内恰有4个周期，根据正弦函数图象的对称性，得到在[0，$\frac{8π}{3}$]内有6个根且分别关于直线x=$\frac{π}{4}$、x=$\frac{11π}{12}$和x=$\frac{19π}{12}$和x=$\frac{27π}{12}$对称，由此加以计算即可得到所有实数根之和．

解答 解：（1）由题意，得：
周期T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$），解得ω=3，
又∵当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，
∴sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=1，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=-$\frac{π}{4}$，
因此函数的解析式为f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）；
（2）函数y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{4}$单位，得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$），再把函数图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，得到f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象．
（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期为$\frac{2π}{3}$，
∴函数在[0，$\frac{8π}{3}$]内恰有4个周期，
并且方程sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a，a∈（0，1）在[0，$\frac{8π}{3}$]内有8个实根，
且x₁+x₂=$\frac{π}{2}$，
同理可得x₃+x₄=$\frac{11π}{6}$且x₅+x₆=$\frac{19π}{6}$，x₇+x₈=$\frac{9π}{2}$．
∴f（x）在[0，$\frac{8π}{3}$]内的所有实数根之和为：$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$+$\frac{9π}{2}$=10π．

点评 本题给出三角函数图象满足的条件，求函数的表达式并求f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．着重考查了三角函数的周期公式、图象的对称性和最值点对应的自变量等知识，属于中档题．