Question

14．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．
（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．
（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，
可得A，B，C，D四点共圆，
∴∠DCB=120°，
∴BD²=BC²+CD²-2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=$\sqrt{7}$，
∴$AC=\frac{BD}{{sin{{60}^0}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$．…（7分）
（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，
则：x+y=3，
BD²=x²+y²+xy=（x+y）²-xy$≥{（{x+y}）^2}-\frac{1}{4}{（{x+y}）^2}=\frac{27}{4}⇒BD≥\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$AC=\frac{BD}{{sin{{60}^0}}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}BD≥3$，当$BC=CD=\frac{3}{2}$时取到．…（15分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．