Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别为PC和BD的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅲ）若矩形ABCD的周长为6，设AD=x，当x为何值时，四棱锥P-A BCD的体积最大？

Answer 1

分析 （I）连接AC，根据中位线定理可得EF∥PA，故而EF∥平面PAD；
（II）由CD⊥AD及平面PAD⊥平面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而平面PDC⊥平面PAD；
（III）取AD的中点M，连接PM，则PM⊥平面ABCD，用x表示出PM，AB，得出体积V关于x的函数，利用函数的单调性得出体积V的最大值．

解答 （I）证明：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，F是BD的中点，∴F是AC的中点
∴EF∥PA，又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
 （II）证明：∵平面PAD⊥平面 A BCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊥AD，
∴CD⊥平面 P AD，又CD?平面 PDC，
∴平面PCD⊥平面 P AD．
（III）解：取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，∴PM⊥AD，
又平面PAD⊥平面 A BCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD．
∵AD=x，∴AB=3-x （0＜x＜3 ），PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴四棱锥 P-A BCD 的体积为$V=\frac{1}{3}x（{3-x}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{3{x^2}-{x^3}}）$ （0＜x＜3 ），
∴$V'=\frac{{\sqrt{3}}}{6}（{6x-3{x^2}}）$，
令V'=0，得x=2 或x=0 （舍），
当x∈（0，2）时V′＞0，当x∈（2，3）时V′＜0，
∴当x=2 时V 取得最大值$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．