Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为$\frac{π}{2}$，其图象经过点M（$\frac{π}{8}$，-1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，试用“五点法”画出函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的简图；

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，可得A=2，
最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4，∴f（x）=2sin（4x+φ），
∵其图象经过点M（$\frac{π}{8}$，-1），可得2sin（$\frac{π}{2}$+φ）=-1，即 sin（$\frac{π}{2}$+φ）=cosφ=-$\frac{1}{2}$，
∴φ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或φ=2kπ+$\frac{4π}{3}$．
再结合0＜φ＜π，可得φ=$\frac{2π}{3}$，f（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）．
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，得到y=2sin[4（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{2π}{3}$]=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
得到函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
用“五点法”画出函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的简图：
令t=2x+$\frac{π}{6}$，则t∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，列表：

2x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{11π}{6}$
x	-$\frac{π}{6}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$
g（x）	-1	0	2	0	-2	-1

作图：

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，还考查了用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，属于中档题．