Question

16．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示：
（1）求出函数的解析式；
（2）求函数单调增区间；
（3）当x为何值时，y取最大值？当x取何值时，y取零？

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．
（3）利用正弦函数的最大值和零点，求得当x为何值时，y取最大值？当x取何值时，y取零．

解答 解：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象，可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=3+1，∴ω=$\frac{π}{4}$，
再根据五点法作图可得$\frac{π}{4}$•（-1）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{4}$，∴y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得8k-3≤x≤8k+1，
故函数的增区间为[8k-3，8k+1]，k∈Z．
（3）当$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，即x=8k+1时，y取得最大值为2；
当$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ时，即x=4k-1时，y=0．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性及零点，属于中档题．