Question

7．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，已知S₂，S₃+1，S₄成等差数列．
（1）求d的值；
（2）令b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，记{b_n}的前n项和为T_n，若$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=2，求a₁．

Answer 1

分析 （1）由已知得2（S₃+1）=S₂+S₄，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出公差d．
（2）先求出b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=n+a₁-1，从而得到{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+na₁，由此利用$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=2，能求出a₁的值．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，S₂，S₃+1，S₄成等差数列，
∴2（S₃+1）=S₂+S₄，
即2（3a₁+$\frac{3×2}{2}d$+1）=$2{a}_{1}+\frac{2×1}{2}d$+4a₁+$\frac{4×3}{2}d$，
解得d=2．
（2）${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+na₁-n，
b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=n+a₁-1，
∵{b_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=（1+2+3+…+n）+na₁-n=$\frac{n（n-1）}{2}$+na₁，
∵$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=2，∴$\frac{{n}^{2}+n{a}_{1}-n}{\frac{n（n-1）}{2}+n{a}_{1}}$=2，
解得a₁=0．

点评 本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、分组求和法的合理运用．