Question

1．求下列方程的解集：
（1）2sin$\frac{2}{3}$x=1；
（2）2tan（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{3}$；
（3）2cos（5x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$=0；
（4）3sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1．

Answer 1

分析 利用三角函数的图象特征，反三角函数的定义，解三角方程，求得x的值．

解答 解：（1）由2sin$\frac{2}{3}$x=1，可得 sin$\frac{2}{3}$x=$\frac{1}{2}$，$\frac{2x}{3}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，或$\frac{2x}{3}$=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即x=3kπ+$\frac{π}{2}$，或x=3kπ+π，k∈Z，故方程的解集为{x|x=3kπ+$\frac{π}{2}$，或x=3kπ+π，k∈Z}．
（2）由2tan（$\frac{π}{4}$-x）=-2tan（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，可得 tan（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得x-$\frac{π}{4}$=kπ-arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{4}$-arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故原方程的解集为{x|x=kπ+$\frac{π}{4}$-arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，k∈Z }．
（3）由2cos（5x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{2}$=0，可得 cos（5x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$，或5x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{5π}{4}$，
即 x=$\frac{2}{5}$kπ+$\frac{π}{12}$，或x=$\frac{2}{5}$kπ+$\frac{11π}{60}$，k∈Z，故方程的解集为{x|x=$\frac{2}{5}$kπ+$\frac{π}{12}$，或x=$\frac{2}{5}$kπ+$\frac{11π}{60}$，k∈Z}．
（4）3sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，可得 sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，∴2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+arcsin$\frac{1}{3}$，2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+π-arcsin$\frac{1}{3}$，
即x=kπ+$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{1}{3}$-$\frac{π}{8}$，或  x=kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{1}{3}$-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故方程的解集为{x|x=kπ+$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{1}{3}$-$\frac{π}{8}$，或x=kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{1}{3}$-$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数的图象特征，反三角函数的定义，解三角方程，属于中档题．