Question

11．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a^2}-1）{e^{ax}}，x＜0\end{array}$（a≠±1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [-$\sqrt{2}$，-1）∪[${\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}}$]∪（1，$\sqrt{2}}$]
• D． （0，$\frac{2}{3}}$）∪[${\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，通过分类讨论，即可求得答案．

解答 解：由题意得：①若f（x）在R上单调递增，
则根据二次函数的单调性以及复合函数的性质，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a^2}-1＞0}\\{{a^2}-1≤1}\end{array}}\right.$，
∴1＜a≤$\sqrt{2}$；
②若f（x）在R上单调递减，
则根据二次函数的单调性以及复合函数的性质，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a^2}-1＞0}\\{{a^2}-1≥1}\end{array}}\right.$，
∴a≤-$\sqrt{2}$．
综上，$1＜a≤\sqrt{2}或a≤-\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数单调性的定义，考查学生的计算能力和分类讨论的能力，属于中档题．