Question

20．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：

测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
芯片甲	8	12	40	32	8
芯片乙	7	18	40	29	6

（Ⅰ）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用等可能事件概率计算公式能求出芯片甲为合格品的概率和芯片乙为合格品的概率．
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：
芯片甲为合格品的概率约为$\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$，
芯片乙为合格品的概率约为$\frac{40+29+6}{100}=\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15，
.$P（{X=90}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$，
$P（{X=45}）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$，
$P（{X=30}）=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5}$，
$P（{X=-15}）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

EX=$90×\frac{3}{5}+45×\frac{3}{20}+30×\frac{1}{5}+（-15）×\frac{1}{20}$=60，
∴生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值为X的期望60．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档同，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．