Question

8．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow c$，|${\overrightarrow b}$|=2|${\overrightarrow a}$|，则tan＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据向量垂直的关系以及向量数量积的应用先求出＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，即可得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow c$=-（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），
∵$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow c$，
∴且$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=-（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=-|$\overrightarrow a$|²-$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即|$\overrightarrow a$²|+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-|$\overrightarrow a$|²，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|}=-\frac{1}{2}$，
则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，
则tan＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=tan$\frac{2π}{3}$=$-\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查向量夹角的求解，根据向量垂直关系以及向量数量积的应用是解决本题的关键．