Question

18．己知函数f（x）=2sinxcosx+a（1-2sin²x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称．
（1）求实数a的值，并求出函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）三角函数图象性质对称轴应用；（2）在给定区间上求单调区间的方法是先求出函数在R上的单调区间，再给k赋值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+a-2asin²x=sin2x+a-a（1-cos2x）=sin2x+acos2x，
∵$x=\frac{π}{8}$是对称轴，
∴$f（0）=f（\frac{π}{4}）$，∴a=-1，
f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，∴T=π；
（2）由题意得：$\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{2}+2kπ$
∴$\frac{3π}{8}+kπ＜x＜\frac{7π}{8}+kπ$（k∈Z）
当k=-1时，$-\frac{5π}{8}＜x＜-\frac{π}{8}$；
当k=0时，$\frac{3π}{8}＜x＜\frac{7π}{8}$
∴f（x）在[-π，π]上的单调减区间为$（-\frac{5π}{8}，-\frac{π}{8}），（\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}）$

点评 本题考查了三角函数图象的对称轴性质及求给定区间上单调区间知识点，属于易考题．