Question

7．已知正实数a，b，c满足a+b²+c³=1．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若|x-d|+|x+16|≥m恒成立，求实数d的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正实数a，b，c满足a+b²+c³=1，运用三元均值不等式，可得ab²c³≤$\frac{1}{27}$，再由均值不等式即可得$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m．
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x-d|+|x+16|≥|x-d-x-16|=|d+16|，由题意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，从而可求得实数d的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为正实数a，b，c满足a+b²+c³=1，
所以a+b²+c³=1≥$3\root{3}{a{b}^{2}{c}^{3}}$，即ab²c³≤$\frac{1}{27}$，当且仅当a=b²=c³时取等号，
所以$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$≥$3\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}{b}^{4}{c}^{6}}}$≥27，
所以$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^4}$+$\frac{1}{c^6}$的最小值m=27；
（Ⅱ）因为|x-d|+|x+16|≥|x-d-x-16|=|d+16|，
由题意及（Ⅰ）得，|d+16|≥27，得d≥11或d≤-43．

点评 本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式的几何意义是解决问题的关键，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．