Question

6．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，x=0是极值点．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=$\frac{f（x-1）+x-1}{x}$，试比较g（4）+g（9）+…+g（n²）与$\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$（n∈Z，n≥2）的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；（2）求出g（x）的表达式，根据放缩法比较大小即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x+1}-a$…（2分）
由题意因为f'（0）=1-a=0…（（3分）
所以a=1…（4分）
（2）$g（x）=\frac{lnx}{x}$．…（5分）
先证当x＞1时，lnx＜x-1
令h（x）=lnx-x+1${h^，}（x）=\frac{1}{x}-1＜0$．…（6分）
所以h（x）在（1，+∞）上单调递减
所以h（x）＜h（1）=0
所以当x＞1时$g（x）＜\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$．…（8分）
∴$g（4）+g（9）+…+g（{n^2}）＜1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+…+1-\frac{1}{n^2}$
$＜1-\frac{1}{2×3}+1-\frac{1}{3×4}+1-\frac{1}{4×5}+…+1-\frac{1}{n×（n+1）}$
=$n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）=\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的大小比较，是一道中档题．