Question

14．如图所示，已知⊙O的直径为AD，PA为⊙O的切线，由P作割线PBC依次交⊙O于B，C两点，且PA=CD=6，BC=9，AC=8．
（Ⅰ）求⊙O的面积大小；
（Ⅱ）求PB，AB，BD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是⊙O的直径，AC⊥CD，求出半径r=5，由此能求出⊙O的面积．
（Ⅱ）设PB=x，则PC=x+9，由切割线定理，得PB=3，由弦切角定理，得∠PAB=∠ACB，从而△PAB∽△PCA，由此能求出PB，AB，BD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，AC⊥CD，
∴AD=2r=$\sqrt{61+36}=10$，r=5，
∴⊙O的面积=πr²=25π．
（Ⅱ）设PB=x，则PC=x+9，
由切割线定理，得PA²=PB•PC，
∴36=x（x+9），解得x=3（x=-12舍），∴PB=3，
由弦切角定理，得∠PAB=∠ACB，
又∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PB}{PA}$，∴$\frac{AB}{8}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴AB=4，
又AB⊥BD，∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{100-16}$=2$\sqrt{21}$．
∴PB=3，AB=4，BD=2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查圆的面积的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．