Question

19．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱AA₁的中点．
（1）求证：AC₁⊥B₁D₁
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明B₁D₁⊥平面AA₁C₁得出AC₁⊥B₁D₁；
（2）代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（1）连接A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又AA₁?平面AA₁C₁，A₁C₁?平面AA₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，∵AC₁?平面AA₁C₁，
∴AC₁⊥B₁D₁．
（2）V_E-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•EA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．