Question

9．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式 
（2）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系即可求数列{a_n}的通项公式 
（2）求出数列{2^a_n}的通项公式，即可求数列的前n项和S_n．

解答 解：（1）设公差为d，
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
∴a₃²=a₁a₉，
即（1+2d）²=1×（1+8d），------（2分）
∴d=0（舍）或d=1，------（2分）
∴a_n=n------（1分）
（2）令b_n=${2^{a_n}}={2^n}$------（1分）
∵$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{2^n}{{{2^{n-1}}}}=2$，为定常数
∴{b_n}是以2为首项2为公比的等比数列------（2分）
∴S_n=$\frac{{2*（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$------（2分）

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据条件建立方程关系求出d是解决本题的关键．