Question

4．已知AB是圆x²+y²=1的一条直径，点P在圆（x-4）²+（y-3）²=1上，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）

• A． 15
• B． 17
• C． 24
• D． 35

Answer 1

分析 【解法一】由平面向量的数量积运算化简$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-1，结合|$\overrightarrow{OP}$|的几何意义求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．
【解法二】设出点A、B、P的坐标，利用坐标表示求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，从而求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．
【解法三】利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{4}$[${（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）}^{2}$-${（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}）}^{2}$]=${|\overrightarrow{OP}|}^{2}$-1，结合题意求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：【解法一】$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$）
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-1；
因为P在圆（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为4²-1=15．
【解法二】因为AB是圆x²+y²=1的一条直径，
故可设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），P（m，n），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₀-m，y₀-n）•（-x₀-m，-y₀-n）
=（m²+n²）-（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$）；
又${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（m²+n²）-1；
又因为点P在圆（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，即m²+n²≥16，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为15．
【解法三】由题意，得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{4}$[${（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）}^{2}$-${（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}）}^{2}$]=${|\overrightarrow{OP}|}^{2}$-1，
因为点P在圆（x-4）²+（y-3）²=1上，
所以|$\overrightarrow{OP}$|≥4，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为15．
故选：A．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．