Question

15．椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），若该椭圆C与直线x+y-3=0有公共点，则其离心率的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，可得a越小e越大而椭圆与直线相切时a最小，将直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．

解答 解：由题意，c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，
∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，
设椭圆为$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1，把直线x+y-3=0代入，化简整理可得（2m-1）x²+6mx+10m-m²=0，
由△=0，解得：m=5，
于是a=$\sqrt{5}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定椭圆与直线相切时a最小．