Question

10．已知函数f（x）=x²-（2sinα）x-8sin²α（α∈R），则
下列四个结论：
①y=f（x）的最小值为-9．
②对任意两实数x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
③不等式f（x）＜0的解集是（-2sinα，4sinα）．
④设[m]表示不超过实数m的最大整数，如[2.1]=2，[-2.1]=-3，[0]=0，记{m}=m-[m]．则当2kπ＜α＜2kπ+π且α≠2kπ+$\frac{π}{2}$时，f（[sinα]）≥f（{sinα}），当2kπ+π≤α≤2kπ+2π或α=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈z）时，f（[sinα]）＜f（{sinα}）．其中正确的是①②．

Answer 1

分析 由题意，①将函数化简，求出其最小值；
②即函数f（x）在定义域内为凹函数，结合函数图象，确定其凹凸性；
③将不等式因式分解，讨论根的大小，确定解集；
④根据已知条件，求出因变量的值，利用函数单调性比较函数值的大小．

解答 解：由题意，因为①f（x）=（x-sinα）²-9sin²α≥-9，所以①正确；
②对任意两实数x₁、x₂，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$即函数f（x）在定义域内为凹函数，
由①可知f（x）是以x=sinα为对称轴，开口向上的抛物线，所以是凹函数，
所以②正确；
③f（x）＜0即x²-（2sinα）x-8sin²α＜0，
所以（x-4sinα）（x+2sinα）＜0，
所以当sinα＞0时，解集为（-2sinα，4sinα），
当sinα＜0时，解集为（4sinα，-2sinα），
所以③错；
④当2kπ＜α＜2kπ+π且α≠2kπ+$\frac{π}{2}$时，0＜sinα＜1，所以[sinα]=0，
所以{sinα}=sinα-[sinα]=sinα，
所以f（[sinα]）=f（0），f（{sinα}）=f（sinα），
又因为f（x）的对称轴为x=sinα且开口向上，所以f（0）＞f（sinα），所以f（[sinα]）＞f（{sinα}），
所以④错．
故答案为①②．

点评 本题①主要利用二次函数性质以及三角函数值域，属于常见提醒；②中难点在于理解函数凹凸性的数学表达形式，也是解题关键；③中易错点是sinα的取值范围是[-1，1]，需要讨论其正负性，解集会不同；④给出了新的概念，对学生综合素质要求较高，以函数单调性比较大小为知识框架，需要学生灵活掌握高斯函数性质及三角函数值域问题，综合性较强．