Question

5．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=a•2ⁿ-3（a为常数）．
（1）求a及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系即可求a及数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=n•a_n，利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a-3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a•2ⁿ-3-a•2^n-1+3=a•2ⁿ-a•2^n-1=a•2^n-1，
∵{a_n}是等比数列，
∴当n=1时，a₁=2a-3满足a_n=a•2^n-1，
即2a-3=a•2^1-1=a，
得a=3，此时a_n=3•2^n-1．
（2）∵b_n=n•a_n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n满足，
${T_n}=3×{2^0}+6×{2^1}+9×{2^2}+…+3n×{2^{n-1}}$，①
$2{T_n}=3×{2^1}+6×{2^2}+9×{2^3}+…+3n×{2^n}$，②
两式相减得②-①得T_n=-3-3•2¹-3•2²-3•2³-…-3•2^n-1+3n•2ⁿ=$\frac{-3（1-{2}^{n}）}{1-2}$+3n•2ⁿ=3n•2ⁿ-3•2ⁿ+3=3（n-1）•2ⁿ+3．
即${T_n}=3（n-1）{2^n}+3$．

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系以及利用错位相减法进行求和是解决本题的关键．