Question

10．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC²=AE•BE，由此能求出AB的长．

解答 解：因为BD⊥AB，四边形ABDC内接于圆，
所以AC⊥CD，又BD=CD，可得：AC=AB．
因为BC=BE，
所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，
所以AC=EC．
由切割线定理得EC²=AE•BE，即AB²=AE•（ AE-AB），
由AE=2，可得：AB²+2 AB-4=0，
解得AB=$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$\sqrt{5}$-1．

点评 本题主要考查了弦切角定理、切割线定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用，属于中档题．