Question

20．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与OE垂直，垂足是D，割线EC交圆O于B，C，且∠ODC=α，∠DBC=β，则∠OEC=β-α（用α，β表示）．

Answer 1

分析 连接OA，OB，由已知条件得，△ADE∽△OAE，△BED∽△OEC，从而得O，C，B，D四点共圆，由此能求出结果．

解答 解：如图所示，
连接OA，OB，∵AE是⊙O切线，∴∠OAE=90°；
∵AD⊥OE，∴∠ADE=90°=∠OAE，
又∵∠AED=∠OEA，
∴△ADE∽△OAE，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{AE}{OE}$，
∴AE²=DE•OE；
又AE²=BE•CE，∴DE•OE=BE•CE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CE}{OE}$；
又∵∠BED=∠OEC，∴△BED∽△OEC，
∴∠BDE=∠OCE，∴O，C，B，D四点共圆，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCE，∴∠ODC=∠OBC，
∴∠ODC=∠BDE，
∴∠OEC=∠DBC-∠BDE=∠BDC-∠ODC=β-α．
故答案为：β-α．

点评 本题考查了角的求法问题，解题时要认真审题，注意三角形相似、四点共圆与三角形内角和定理的合理运用，是综合性题目．