Question

15．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；
（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中DE²=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵DE²=EF•EC，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{EF}{ED}$，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，
又BE•EC=AE•ED=12，
∴EC=4，EF=$\frac{D{E}^{2}}{EC}$=$\frac{9}{4}$，PE=$\frac{16}{3}$，PB=$\frac{7}{3}$，PC=PB+BE+EC=$\frac{28}{3}$，
由切割线定理得PA²=PB•PC=$\frac{7}{3}$×$\frac{28}{3}$=$\frac{196}{9}$，
所以PA=$\frac{14}{3}$为所求…10分

点评 本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，圆内接四边形的判定定理，其中（Ⅰ）的关键是证得∠P=∠EDF，（Ⅱ）的关键是求出PB，PC的长，为切割线定理的使用创造条件，属于中档题．