Question

12．在正三棱锥P-ABC中，M是PC的中点，且AM⊥PB，AB=2$\sqrt{2}$，则正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥PB，结合PB⊥AM，得到PB⊥平面PAC，因此可得PA、PB、PC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：取AC中点N，连接BN、PN
∵N为AC中点，PA=PC
∴AC⊥PN，同理AC⊥BN，
∵PN∩BN=N
∴AC⊥平面PBN
∵PB?平面PBN
∴AC⊥PB
∵PB⊥AM且AC∩AM=A
∴PB⊥平面PAC⇒PB⊥PA且PB⊥AC
∵三棱锥P-ABC是正三棱锥
∴PA、PB、PC三条侧棱两两互相垂直．
∵底面边长AB=2$\sqrt{2}$，
∴侧棱PA=2，
∴正三棱锥P-ABC的外接球的直径为：2R=2$\sqrt{3}$
外接球的半径为R=$\sqrt{3}$
∴正三棱锥P-ABC的外接球的表面积是S=4πR²=12π
故答案为：12π．

点评 本题以正三棱锥中的垂直关系为例，考查了空间线面垂直的判定与性质，以及球内接多面体等知识点，属于中档题．