Question

1．已知函数f（x）=x²-2．
（1）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（2）函数$h（x）=ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k$有几个零点？

Answer 1

分析 （1）由题意可得0＜x＜1时，g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$＞0恒成立，即a＞-2x²-2x=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，求得2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$ 的最大值，可得a的范围．
（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2，函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，
∴0＜x＜1时，g′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$＞0恒成立，即a＞-2x²-2x=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
而m（x）=-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$ 在区间（0，1）上单调递减，∴-2${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$＜m（0）=0，∴a≥0．
（2）∵函数$h（x）=ln（1+{x^2}）-\frac{1}{2}f（x）-k$=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$（x²-2）-k=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+1-k  的定义域为R，
h′（x）=$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$-x-0=$\frac{x（1{-x}^{2}）}{1{+x}^{2}}$，令h′（x）=0，求得x=0，或x=1 或x=-1，
列表：

x	（-∞，-1 ）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）的符号	+		-		+		-
f（x）	增	极大值 ln2+$\frac{1}{2}$-k	减	极小值 1-k	增	极大值 ln2+$\frac{1}{2}$-k	减

当1-k＞0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0时，即 k＜1时，函数h（x）有2个零点；
当1-k=0且 ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0时，即k=1时，函数h（x）有3个零点；
当1-k＜0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＞0时，即1＜k＜ln2+$\frac{1}{2}$ 时，函数h（x）有4个零点；
 当1-k＜0且ln2+$\frac{1}{2}$-k＜0时，即 k＞ln2+$\frac{1}{2}$ 时，函数h（x）有没有零点．

点评 本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题．