Question

19．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设圆C：（x-1）²+y²=1，过原点O作圆的任意弦OA，则弦OA中点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}$=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为③④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①利用双曲线的定义中对a，c的要求即可判断．
②由题意，CP⊥OA，弦OA中点P的轨迹为以OC为直径的圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根为：2，$\frac{1}{2}$，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④求出双曲线的焦点是（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得结论．

解答 解：①因为双曲线的定义中要求k＜|AB|，故①不正确；
②由题意，CP⊥OA，∴弦OA中点P的轨迹为以OC为直径的圆，故不正确；
③方程2x²-5x+2=0的两根为：2，$\frac{1}{2}$，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；
④∵④中双曲线的焦点是（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），∴④正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查了椭圆，双曲线的定义，及圆锥曲线的共同特征---离心率，考查了学生的灵活把握定义及基础知识的能了，是个中档题．