Question

7．已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，点S是抛物线C上在第一象限内的一点，且|SF|=$\frac{5}{4}$．以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A、B，延长SA，SB分别交抛物线C于M，N两点．
（1）当|AB|=2时，求圆S的方程；
（2）证明直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已条件推导出|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，由此能求出S点的坐标，再求出圆的半径，即可求圆S的方程；
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），由直线与抛物线方程联立，求出M点坐标，设直线SB的斜率为-k，同理求出N点坐标，由此能求出直线MN的斜率．

解答 解：（1）设S（x₀，y₀）（y₀＞0），
∵点F是抛物线C：y²=x的焦点，
S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=$\frac{5}{4}$．
∴F（$\frac{1}{4}$，0），∴|SF|=x₀+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴x₀=1，∴y₀=1
∴S点的坐标为（1，1）．…（4分）
设圆S的半径为r，则$r=\sqrt{{1^2}+{{（\frac{1}{2}AB）}^2}}=\sqrt{2}$，
故圆S的方程为：（x-1）²+（y-1）²=2…（6分）
（2）设直线SA的方程为y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由直线与抛物线方程联立，得ky²-y+1-k=0，
解得：y₁=1（舍），或y₁=$\frac{1}{k}$-1
∴M（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$-1）…（8分）
由已知|SA|=|SB|得，直线SA与SB的斜率互为相反数，
∴直线SB的斜率为-k，同理得N（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}$-1）…（10分）
∴k_MN=$\frac{\frac{1}{k}-1+\frac{1}{k}+1}{\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{2}$，即直线MN的斜率为定值-$\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查抛物线上满足条件的点的坐标的求法，考查直线的斜率的求法，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，属于中档题．