Question

11．函数y=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{15-3x}$，下述判断中正确的是（　　）

• A． 最大值是2，最小值是0
• B． 最大值是3，最小值是2
• C． 最大值是3，最小值是1
• D． 最大值是2，最小值是1

Answer 1

分析 求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出相应的函数值，即可得到值域

解答 解：∵y=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{15-3x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4≥0}\\{15-3x≥0}\end{array}\right.$解得4≤x≤5
又y′=$\frac{1}{2\sqrt{x-4}}$-$\frac{3}{2\sqrt{15-3x}}$=$\frac{\sqrt{15-3x}-3\sqrt{x-4}}{2\sqrt{x-4}•\sqrt{15-3x}}$
令y′＞0解得4≤x＜$\frac{17}{4}$，令y′＜0，得$\frac{7}{4}$＜x≤5，故当x=$\frac{17}{4}$函数取到最大值2
又x=4时，y=$\sqrt{3}$，x=5时，y=1
函数的值域为[1，2]
故选：D．

点评 本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出，故采取了求导的方法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题关键是熟练掌握求导公式，以及掌握导数法确定函数单调性的步骤．