Question

9．设F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F₁F₂|=2c，若椭圆上存在点P使得|PF₁|•|PF₂|=2c²，则椭圆的离心率的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，联立|PF₁|•|PF₂|=2c²，求出|PF₂|，由|PF₂|≥a-c求得椭圆的离心率的最小值．

解答 解：由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，
联立得$|P{F_1}|•|P{F_2}|=2{c^2}$，解得|PF₂|=a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$或|PF₂|=a+$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$．
∵a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$≤a+$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
∴由a-$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$≥a-c，得c≥$\sqrt{{a}^{2}-2{c}^{2}}$，
两边平方得：c²≥a²-2c²，即3c²≥a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即椭圆的离心率的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．