Question

4．已知A是△ABC的内角，且sinA+cosA=-$\frac{7}{13}$，求tan（$\frac{π}{4}$+A）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA、cosA、tanA的值，从而求得tan（$\frac{π}{4}$+A）的值．

解答 解：由$sinA+cosA=-\frac{7}{13}…（1）$，
得${（sinA+cosA）^2}=1+2sinAcosA=\frac{49}{169}⇒2sinAcosA=-\frac{120}{169}$，
则${（sinA-cosA）^2}=1-2sinAcosA=\frac{289}{169}$，
又A是△ABC的内角且sinA cosA＜0，则A为钝角．
则$sinA-cosA=\frac{17}{13}…（2）$，
由（1）和（2）得$sinA=\frac{5}{13}，cosA=-\frac{12}{13}，tanA=-\frac{5}{12}$，
则$tan（\frac{π}{4}+A）=\frac{{tan\frac{π}{4}+tanA}}{{1-tan\frac{π}{4}tanA}}=\frac{{1-\frac{5}{12}}}{{1+\frac{5}{12}}}=\frac{7}{17}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于中档题．