Question

19．已知函数f（x）=2sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调减区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性以及它的图象的对称轴和对称中心，得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=2sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）-1=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故（1）函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）令 2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，可得函数f（x）图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得函数f（x）图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性以及它的图象的对称轴和对称中心，属于中档题．