Question

8．△ABC中，点D是边BC上的一点，∠B=∠DAC=$\frac{π}{3}$，BD=2，AD=2$\sqrt{7}$，则CD的长为7．

Answer 1

分析 设AB=x，在△ABD中由条件和余弦定理求出AB和cos∠BDA，由∠ADB+∠ADC=π和诱导公式求出cos∠CDA，由平方关系求出sin∠ADC，根据内角和定理、∠DAC=$\frac{π}{3}$和两角和的正弦公式求出sin∠C，在△ADC中由正弦定理求出CD的长．

解答 解：如图所示：设AB=x，在△ABD中，∠B=$\frac{π}{3}$，BD=2，AD=2$\sqrt{7}$，
则由余弦定理得，AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB
∴28=${x}^{2}+4-2×x×2×\frac{1}{2}$，则x²-2x-24=0，
解得x=6或x=-4（舍去），
cos∠BDA=$\frac{{BD}^{2}+A{D}^{2}-{AB}^{2}}{2•BD•AD}$=$\frac{4+28-36}{2×2×2\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{7}}$
∵∠ADB+∠ADC=π，∴cos∠CDA=-cos∠BDA=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
则sin∠ADC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ADC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
∵∠DAC=$\frac{π}{3}$，
∴sin∠C=sin（∠DAC+∠ADC）=sin∠DACcos∠ADC+cos∠DACsin∠ADC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2\sqrt{7}}+\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin∠C}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
∴CD=$\frac{AD•sin∠DAC}{sin∠C}$=$\frac{2\sqrt{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$=7，
故答案为：7．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式等应用，熟练掌握公式和定理是解题的关键．