Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），过点M（2，1），斜率为4的直线l与双曲线交于A，B两点，且点M恰好为线段AB的中点，则双曲线的一条渐近线方程为（　　）

• A． 2x-y=0
• B． y=x
• C． $\sqrt{3}$x-y=0
• D． $\sqrt{2}x$+y=0

Answer 1

分析 利用点差法，结合中点坐标关系进行化简得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1$
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∵斜率为4的直线l与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（2，1），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=4，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
即x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
则4=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{4}{2}$，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$
∴y=$±\frac{b}{a}$x=±$\sqrt{2}$x．
即±$\sqrt{2}$x+y=0，
则双曲线的一条渐近线为$\sqrt{2}x$+y=0
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求解，利用点差法和线段中点坐标公式进行化简是解决本题的关键．