Question

5．设函数{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质列方程组解出首项和公差，得出{a_n}的通项公式，利用b_n=S_n-S_n-1得出{b_n}是等比数列；
（2）使用错位相减法求和．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+4d=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵S_n+b_n=2，∴S_n=2-b_n．
∴n=1时，2b₁=2，∴b₁=1．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1．
∴{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）T_n=1$•\frac{1}{{2}^{n-1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+5$•\frac{1}{{2}^{n-3}}$+…+（2n-3）$•\frac{1}{2}$+（2n-1）•1，①
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{n}}$+3•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+5$•\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{2}}$+（2n-1）$•\frac{1}{2}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-2（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+…+$\frac{1}{2}$）+2n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
=-2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$+2n-3．
∴T_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$+4n-6．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．